H Гипотеза Била или как заработать миллион долларов и познать энтропию в черновиках Из песочницы

Математика — прекрасная и очень красивая наука с множеством областей, теорий и ответвлений. Однако есть в ней особая, «чистая» область, этакая математика в квадрате, под названием высшая арифметика. А уже там прячется основа основ всей математики, её священный Грааль — элементарная теория чисел, изучающая без использования методов других разделов математики такие вопросы как делимость целых чисел, проблема факторизации, диофантовы уравнения и многое другое. Одну из открытых проблем этой теории, гипотезу Била, я доказал и сегодня вам это покажу.

Что это за зверь? Гипотеза Била — предложенное в 1993 году математиком-любителем Эндрю Билом (Andrew Beal) утверждение со следующей формулировкой: если $$, где $$ — натуральные числа и $$, то $$ имеют общий простой делитель. Казалось бы всё просто, но это только на первый взгляд. Эта задача сложна настолько, что за её доказательство (или опровержение) Бил учредил премию в один миллион долларов. Звучит заманчиво? Очень. На этом вступление будем считать законченным и перейдём непосредственно к доказательству.

К энтропии

Что есть энтропия? Не пугайтесь, этот вопрос в рамках данной статьи мы рассматривать не будем. Рассмотрим числа $$ как на две независимые системы с энтропией $$ соответственно. Можем ли мы сделать это? Конечно. По теореме сложения энтропии при объединении независимых систем их энтропии складываются. Следовательно, энтропия сложной системы $$ равна нолю, так как

$$

при $$ имеет только тривиальное решение. А значит у системы $$ возможно только одно состояние. Или, говоря простым языком, $$ представимо в виде суммы $$ единственным образом с точностью до перестановки слагаемых. Запомним этот факт, мы вернёмся к нему позже.

D значит Dелимость

Введём понятие коэффициента делимости $$. Пусть $$ — каноническое разложение числа $$ на множители, $$ — число десятков числа $$, записанного в системе счисления по основанию $$, $$ тогда $$ является решением системы

$$

Лемма 1: $$ существует для любых чисел, взаимно простых с основанием системы счисления в которой это число записано. Доказательство леммы 1 следует из того факта, что уравнение $$ всегда имеет решение.

Теорема 1 (теорема Громовой): число $$ делится на $$, если число $$ без $$ последних цифр плюс $$ последних цифр, умноженных на $$, делится на $$.
Данная теорема была впервые сформулирована российским математиком Людмилой Фёдоровной Громовой не позднее 2009 года и я познакомился с ним в этой работе. Доказательство теоремы 1 несложно, но весьма громоздко, поэтому здесь приведено не будет, интересующимся математикой читателям предлагаю доказать её самостоятельно, остальным — прослушать аудио версию доказательства за авторством Александра Александровича Дегтяря.

Per aspera ad astra

Докажем гипотезу Била от противного. Допустим, что числа $$ попарно взаимно просты. Не теряя общности, можем считать $$ Тогда, перейдя в систему счисления по основанию $$, гипотеза принимает вид $$. По лемме $$ вычислим для $$.

Запишем числа $$ в виде $$, где $$ — первые $$ цифр, считая справа, $$ — остальные цифры. Нетрудно увидеть, что $$, т.е. вся разница между $$ заключается в том, что в одном разряде у них стоят отличающиеся на единицу цифры. Следовательно, $$, т.е. коэффициенты делимости $$ тоже отличаются на $$.

Делится ли $$ на $$ соответственно? Глупый вопрос, конечно же делится. Следовательно, по теореме Громовой,

$$

Преобразуем и вычтем второе уравнение из первого:

$$

$$

Нетрудно увидеть, что при $$ уравнение имеет множество решений. Но по определению $$ может быть равен нолю только для $$, значит $$. Следовательно, по теореме Михалеску $$, но по определению $$. Противоречие.

А теперь внимание! Фокус! Следите за руками!!!

Ловкость рук, никакого мошенства и немного магии энтропии

Так как энтропия сложной системы $$, то для $$ числа $$, а значит и $$ определены однозначно. Следовательно, уравнение $$ не имеет переменных и является не уравнением, а равенством, и может иметь лишь единственное решение, которое вводит нас в противоречие с условием гипотезы Била. Следовательно, наше допущение ложно и $$ имеют общий простой делитель.

Доказано.

Литература: Л.Ф. Громова, Признаки делимости чисел с окончаниями 1, 3, 7, 9

P.S. Используя удивительные свойства энтропии вычислительную сложность задачи факторизации можно снизить с $$ до $$. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, которое, однако, выходит далеко за рамки этого поста. Мы поговорим об этом в другой раз.

H(C^z) = 0,

H(x) = log x,

log C^z = 0.

C^z = 1.