2 мая 2019 в 01:21 (МСК)

H Метод узловых токов. Секретная техника расчета электрических цепей в черновиках

Содержание

Постановка задачи и обозначения
Метод узловых токов
Обоснование
Примеры

Метод довольно прост и, как вы увидите из примеров, эффективен, но по каким-то причинам он не пробился в лидеры популярности и, более того, похоже, если этот подход и известен, то лишь в узких кругах. Во всяком случае, будучи студентом физтеха, а потом и преподавателем, я о нем не слышал.

Эта статья призвана устранить эту несправедливость и, возможно, немного облегчить жизнь всем тем, кому приходится хотя бы иногда рассчитывать электрические цепи вручную.

Преимущества, которые дает данный подход:

позволяет «на лету», без расчетов, составлять систему уравнений. Топология схемы сразу «дает» вам все коэффициенты и эти коэффициенты довольно простые
количество переменных равно количеству узлов (без точек подключения земли и источников), что может быть меньше, чем количество переменных при решении другими методами

В основе этого подхода лежит техника расчета, схожая с техникой контурных токов (например, также вводятся вспомогательные «виртуальные» токи), но только речь здесь будет идти не о контурах, а об узлах, поэтому в этой статье я буду назвать этот подход методом узловых токов.

Возможно, это название не совсем удачное, поэтому если, кто-то владеет данной секретной (во всяком случае так долгое время было для меня) техникой и знает ее истинное имя, то буду рад использовать изначальное название.

В статье приведены примеры расчета многозвенных Г-образных цепей и двойного T-образного моста. Эти схемы часто вызывают затруднения у студентов. Поэтому мне показалось, что это хорошие примеры для демонстрации эффективности и простоты метода.

Это первая моя публикация на эту тему и буду признателен за анализ и комментарии.

Постановка задачи и обозначения

Рассмотрим произвольную цепь с пассивными линейными элементами. Для простоты рассмотрения будем считать, что у нас один идеальный источник напряжения.

Замечание

Если у нас есть несколько источников напряжения, то можно применить принцип суперпозиции. Если у нас есть источники тока, то их можно заменить на эквивалентные источники напряжения.

Пронумеруем все узлы в схеме. Для определенности узлу подключения источника напряжения присвоим порядковый номер 0, а земле — максимальный номер.

Замечание 2

Обычно узлом считается точка, к которой подключено 3 и более элементов цепи. Мы расширяем понятие узла и считаем, что узлом является место подключения 2-х и более элементов. Но ничто не мешает нам избавиться от таких узлов (с 2-мя подключениями) заменой двух последовательных элементов на эквивалентный. Но нужно понимать, что чем больше узлов, тем больше переменных и, соответственно, уравнений. Так, например, предположим, что в нашей цепи есть $inline$ последовательно включенных сопротивлений. В соответствии с нашим расширенным определением узла у нас между этими элементами есть $inline$ узлов. Если мы решим не заменять эти последовательные сопротивления на одно эквивалентное, то это приведет к дополнительным $inline$ переменным. Метод узловых токов, конечно, даст правильный результат, но это является неоправданным и, на самом деле, существенным усложнением. Поэтому, конечно, разумно сначала сделать возможные эквивалентные замены, которые могут привести к уменьшению количества узлов.

Введем следующие обозначения:

$inline$ — напряжение в узле

$inline$

$inline$ — напряжение источника

$z_{kl}$ — сопротивление (в общем виде комплексное) элемента, расположенного между узлами

$inline$ и

$inline$

$y_{kl}$ — проводимость (в общем виде комплексная) элемента, расположенного между узлами

$inline$ и

$inline$

$inline$ — сумма всех проводимостей всех элементов, подключенных к узлу

$inline$ .

Наша задача — найти значения напряжений во всех узлах.

Метод узловых токов

Сформулируем формально метод.

Если в нашей схеме имеется

$inline$ узлов, не считая узлов, подключенных непосредственно к земле и источнику напряжения, то чтобы найти напряжения

$inline$ ,

$inline$ , ...,

$inline$ нужно решить систему уравнений:

$\begin{pmatrix} y_1& y_{12}& ...& y_{1n}\\ y_{12}& y_2& ...& y_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ y_{1n}& y_{2n}& ...&y_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ ...\\ u_n\\ \end{pmatrix} = u_0 \begin{pmatrix} y_{01}\\ y_{02}\\ ...\\ y_{0n}\\ \end{pmatrix}$

Здесь нужно остановиться и получить эстетическое удовольствие :).

Обоснование

Итак, в нашей схеме

$inline$ узлов (мы не считаем узлы, подключенные к земле и источнику напряжения).

Для любого элемента

$z_{kl}$ (соответственно расположенного между узлами

$inline$ и

$inline$ ) введем вспомогательные «виртуальные» токи:

$i_{kl}$ , текущий от

$inline$ к

$inline$ и

$i_{lk}$ , текущий от

$inline$ к

$inline$ .

$i_{kl} = {u_k\over z_{kl}} = u_ky_{kl}$

$i_{lk} = {u_l\over z_{kl}} = u_ly_{kl}$

где

$y_{kl}$ — проводимость.

Если считать положительным направлением от

$inline$ к

$inline$ , то реальный ток

$inline$ , текущий через этот элемент

$i = y_{kl}(u_k -u_l) = i_{kl} - i_{lk}$

Для произвольного узла

$inline$ мы можем найти сумму всех таких исходящих «виртуальных» токов. Она будет равна

$i_{out_k} = u_k\sum_{j = 0}^ny_{jk} = u_ky_k$

Замечание

При этом, конечно, некоторые проводимости равны 0, что означает бесконечное сопротивление (или разрыв — отсутствие элемента) между узлами.

В силу первого правила Кирхгофа, для суммарного входящего в узел

$inline$ «виртуального» тока имеем

$i_{in_k}= i_{out_k} = u_ky_k$

Составим систему уравнений относительно токов

$i_{in_j}$ , где

$inline$ .

Для любого узла

$inline$ , мы можем выразить суммарный входной ток

$i_{in_k}$ через исходящие токи от всех остальных узлов

$inline$ , которые в свою очередь можно выразить через их суммарные входные токи

$i_{in_j}$ .

$u_k = {i_{in_k}\over y_k} = {1\over y_k}\sum_{j = 0}^nu_jy_{jk} = {1\over y_k}(\sum_{j = 1}^nu_jy_{jk} + u_0y_{0k})$

$u_ky_k -\sum_{j = 1}^nu_jy_{jk} = u_0y_{0k}$

Что в матричном виде и было представлено в определении метода.

Замечание

Мы считаем $y_{kk} = 0$

Примеры

Чтобы понять, как это работает, давайте начнем с простого.

Пример 1

$inline$ — входное напряжение

$inline$ — искомое выходное напряжение

$y_{01}$ ,

$y_{121}$ ,

$y_{122}$ — проводимости

$y_1 = y_{01} + y_{121} + y_{122}$

Применим метод узловых токов.

В данном случае мы имеем матрицу, состоящую из одного элемента и, соответственно, мгновенное решение:

$y_1u_1 = u_0y_{01}$

$u_1 = u_0{y_{01}\over y_1}$

Давайте возьмем что-нибудь посложней.

Пример 2. Фильтр нижних частот второго порядка

Рассмотрим, схему

Составляем систему линейных уравнений в соответствии с методом узловых токов, умножаем правую и левую части на R и получаем

$\begin{pmatrix} 2 + jwRC& 1\\ 1& 1 + jwRC \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_0\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Понятно, что решение будет

$u_2 = {det \begin{pmatrix} 2 + jwRC& u_0\\ 1& 0 \\ \end{pmatrix} \over det \begin{pmatrix} 2 + jwRC& 1\\ 1& 1 + jwRC \\ \end{pmatrix}} = {1\over 1+3jwRC + (jwRC)^2}$

Думаю, уже понятно, как применять этот метод, но для желающих, под катом еще два примера, которые, на мой взгляд, демонстрируют, как легко и эффективно могут быть рассчитана некоторые стандартные схемы.

Пример 3. Г-образная многозвенная цепь

Четыре звена

$inline$ — входное напряжение

$inline$ — искомое выходное напряжение

Составим систему уравнений в матричном виде:

$\begin{pmatrix} y_1& -y_{12}& 0& 0\\ -y_{12}& y_2& -y_{23}& 0\\ 0& -y_{23}& y_3& -y_{34}\\ 0& 0& -y_{34}& y_4\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_0y_{01}\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Решим систему.
Мы имеем трехдиагональную матрицу (или матрицу Якоби). И определитель этой матрицы легко найти. Он равен

$det \begin{pmatrix} y_1& -{y_{12}}& 0& 0\\ -{y_{12}}& y_2& -{y_{23}}& 0\\ 0& -{y_{23}}& y_3& -{y_{34}}\\ 0& 0& -{y_{34}}& y_4\\ \end{pmatrix} = y_1y_2y_3y_4(1 - {y_{12}^2\over y_1y_2} - {y_{23}^2\over y_2y_3} - {y_{34}^2\over y_3y_4} + {y_{12}^2 y_{34}^2\over y_1y_2y_3y_4})$

Давайте обозначим теперь

$\nu_{nm} = {y_{nm}^2\over y_ny_m}$

Тогда данная формула будет выглядеть следующим образом:

$det \begin{pmatrix} y_1& -{y_{12}}& 0& 0\\ -{y_{12}}& y_2& -{y_{23}}& 0\\ 0& -{y_{23}}& y_3& -{y_{34}}\\ 0& 0& -{y_{34}}& y_4\\ \end{pmatrix} = y_1y_2y_3y_4(1 - \nu_{12} - \nu_{23} - \nu_{34} + \nu_{12}\nu_{34})$

Давайте теперь найдем выходное напряжение

$inline$ . Для этого нужно найти детерминант матрицы

$det \begin{pmatrix} y_1& -{y_{12}}& 0& u_0y_{01}\\ -{y_{12}}& y_2& -{y_{23}}& 0\\ 0& -{y_{23}}& y_3& 0\\ 0& 0& -{y_{34}}& 0\\ \end{pmatrix} = u_0y_{01}{y_{12}}{y_{23}}{y_{34}}$

Введем еще одно обозначение:

$P_k = {y_{01}y_{12}...y_{[k-1]k}\over y_1y_2...y_k}$

Тогда выходное напряжение будет:

$u_4 = u_0 {P_4\over1 - \nu_{12} - \nu_{23} - \nu_{34} + \nu_{12}\nu_{34}}$

Это было 4 звена. Но формула может быть легко найдена и для другого количества звеньев.

Два звена

$K(jw) = {P_2\over1 - \nu_{12}}$

Три звена

$K(jw) = {P_3\over1 - \nu_{12} - \nu_{23} }$

Пять звеньев

$K(jw) = {P_5\over1 - \nu_{12} - \nu_{23} - \nu_{34} - \nu_{45} + \nu_{12}\nu_{34} + \nu_{12}\nu_{45} + \nu_{23}\nu_{45}}$

Для большего количества звеньев формулы становятся довольны длинными, но, если вы понимаете, как находится определитель трехдиагональной матрицы, то ответ вы сможете написать сразу, без дополнительных расчетов.

Пример 4. Двойной Т-образный мост

$inline$ — входное напряжение

$inline$ — искомое выходное напряжение

$\begin{pmatrix} y_1& 0& -{y_{13}}\\ 0& y_2& -{y_{23}}\\ -{y_{13}}& -{y_{23}}& y_3\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ \end{pmatrix} = u_0 \begin{pmatrix} y_{01}\\ y_{02}\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Найдем

$inline$

$u_3 = u_0{det \begin{pmatrix} y_1& 0& y_{01}\\ 0& y_2& y_{02}\\ -{y_{13}}& -{y_{23}}& 0\\ \end{pmatrix} \over det \begin{pmatrix} y_1& 0& -{y_{13}}\\ 0& y_2& -{y_{23}}\\ -{y_{13}}& -{y_{23}}& y_3\\ \end{pmatrix}}$

Пусть

$inline$ . Тогда

$y_{34}$ можно пренебречь.

Тогда получим, что

$y_3 = jwc + {1\over R}$

$display$

И тогда

$u_3 = u_0{det \begin{pmatrix} 2y_3& 0& y_{01}\\ 0& 2y_3& y_{02}\\ -{y_{13}}& -{y_{23}}& 0\\ \end{pmatrix} \over det \begin{pmatrix} 2y_3& 0& -{y_{13}}\\ 0& 2y_3& -{y_{23}}\\ -{y_{13}}& -{y_{23}}& y_3\\ \end{pmatrix}} = {2y_3(y_{23}y_{02}+y_{13}y_{01})\over {2y_3(2y_3^2 -y_{13}^2 - y_{23}^2})} = {y_{23}y_{02}+ y_{13}y_{01}\over 2y_3^2 - y_{13}^2 - y_{23}^2}$

Подставим теперь значения проводимостей. Получим

$u_3 = u_0{1+(jw\tau)^2\over 1+4jw\tau+(iw\tau)^2}$

Где

$\tau = RC$

938

Roman Elokhin (@nihole)

комментарии (4)

masai , 2 мая 2019 в 01:42 (МСК) * (был изменён)

А в чём принципиальное отличие от суперпопулярного метода узловых потенциалов? Похоже, что с точностью до искомой величины это он есть.

masai , 2 мая 2019 в 01:48 (МСК)

Если вы преподаёте электронику, посмотрите курс Ананта Агарвала на edX. Курс отличный, с очень хорошими объяснениями, можно многие примеры и подходы к себе утащить.

FGV , 2 мая 2019 в 02:24 (МСК)

если этот подход и известен, то лишь в узких кругах.

Чтааааа!? В курсе ТОЭ (теоретические основы электротехники) это называется метод узловых потенциалов. Начитывается сразу после контурных токов (у нас был первый семестр второго курса). К слову о неизвестности — всевозможные симуляторы схем как правило им считают.

Moskus , 2 мая 2019 в 03:42 (МСК)

Подтверждаю. Его не знают только те, кто изучает электронику по видеоурокам мигания светодиодом на Ардуино.