СоХабр закрыт.

С 13.05.2019 изменения постов больше не отслеживаются, и новые посты не сохраняются.

H Операции над комплексными числами в черновиках

Здравствуй, %username%!
Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
Приятного чтения!

Итак, перейдем к более интересным и чуть более сложным операциям.
Я расскажу про показательную форму комлексного числа,
возведение в степень, квадратный корень, модуль, а также про синус и
косинус комплексного аргумента.
Думаю, начать стоит с модуля комплексного числа.
Комплексное число можно представить на оси координат.
По x будут расположены вещественные числа, а по y мнимые.
Это называется комплексная плоскость. Любое комплексное число, например

$z=6+8i$


очевидно можно представить как радиус-вектор:

Формула расчета модуля будет выглядить так:

$ r = |z| = \sqrt(x^2+y^2) $


Получается, что модуль комплексного числа z будет равен 10.
В прошлой части я рассказал про две формы записи комплексного числа:
алгебраическую и геометрическую. Есть еще показательная форма записи:

$z=r\:e^{i\phi}$


Здесь r — это модуль комплексного числа,
а φ — это arctg(y/x), если x>0
Если x<0,y>0 то

$φ=arctg(y/x)+\pi$


Если x<0,y<0 то

$φ=arctg(y/x)-\pi$


Есть замечательная формула Муавра, которая позволяет возвести комплексное число в
целую степень. Она была открыта французким математиком Абрахом де Муавром в 1707 году.
Выглядит она вот так:

$z^n=r^n{(cos(\phi) + i*sin(\phi))}^n$


В результате можем возвести число z в степень a:

$z.x=|z|^a*cos(a*arctg(y/x))$


$z.y=|z|^a*sin(a*arctg(y/x))$


Если Ваше комплексное число записано в показательном виде, то
можно использовать формулу:

$z^k=r^ke^{ik\phi}$


Теперь, зная как находится модуль комплексного числа и формулу Муавра, можем найти
n корень из комплексного числа:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\;cos{\frac{\phi+2\pi k}{n}}+i*sin{\frac{\phi+2\pi k}{n}}$


Здесь k это числа от 0 до n-1
Из этого можно сделать вывод, что существует ровно n различных корней n-ой
степени из комплексного числа.
Перейдем к синусу и косинусу.
Расчитать их нам поможет знаменитая формула Эйлера:

$e^{ix}=cos({x})+i*sin({x})$


Кстати, еще существует тождество Эйлера, которое является частным
случаем формулы Эйлера при x=π:

$e^{iπ}+1=0$


Получаем формулы для вычисления синуса и косинуса:

$sin\:z=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{{2i}}$


$cos\:z=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{{2}}$


Под конец статьи нельзя не упомянуть практическое применение комплексных
чисел, чтобы не возникало вопроса
image
сдались эти комплексные числа?
Ответ: в некоторых областях науки без них никак.
В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.
Надеюсь, теперь вы умеете оперировать комплексными числами и сможете
применять их на практике.
Если что-то в статье непонятно — пишите в комментариях, отвечу.
0
~1400

комментарии (11)

+3
dopusteam ,   * (был изменён)
В коментах к прошлой статье узнал больше о комплексных числах, чем из Ваших двух статей

Текст вида 'комплексные числа используются в уравнениях x и z и ещё много где' выглядит как отписка
0
Enmar ,  

В комментариях у прошлой статье было только про практическое примение, критика и наоборот похвала.
Никаких формул не было

+2
BubaVV ,  
Джон Дербишир. Простая одержимость
0
+1 –1
akhalat ,   * (был изменён)
а φ — это arctg(y/x)

это неверно и очень грубая ошибка. arctg, если вы не знали, определен только в интервале от -pi/2 до pi/2
φ — это именно угол на комплексной плоскости
все ваши формулы, где есть этот пресловутый арктангенс — неверны
формулу Эйлера вы используете вовсю до того как ее обозначить
у вас ошибки при наборе формул (корень из модуля), неряшливая типографика, отсутствует последовательность в обозначениях (через «x» вы то обнозначаете действительную часть числа z конструкциями вроде z.x, то рассматриваете ее как самостоятельную переменную, например, в ф-ле Эйлера, — причём непонятно комплексная она или вещественная)
квадрат которой

не квадрат, а квадрат модуля
0
Enmar ,  
Квадарт которой исправил.
Какая грубая ошибка?
Определен только в интервале
Вы вообще про что?
Область определения или область допустимых значений?
0
VaalKIA ,  
Любое комплексное число, например z = 6 + 8i можно представить как радиус-вектор:
На картинке видим x, y, r и фи… Вы явно пропустили слово очевидно.
0
Enmar ,  
Да, так лучше.
Спасибо, исправил
0
VaalKIA ,   * (был изменён)
Это была ирония, представление мнимых чисел всегда заслуживает отдельного пояснения.
0
aa-dav ,  
Важно заметить, что умножение двух комплексных чисел получает комплексное число модуль которого равен произведению модулей исходных чисел, а угол между ним и осью OX равен сумме исходных углов. Т.е. комплексное умножение ПОВОРАЧИВАЕТ ВЕКТОР. Это в принципе и диктует область применения — во всяких колебательных процессах и тому подобное.
0
aa-dav ,   * (был изменён)
P.S.
Тождество Эйлера, кстати, как раз с помощью комплексного вращения (заметённого в операцию возведения в степень) по сути своей утверждает, что «если повернуть точку (1,0) на 180 градусов (пи радиан), то она попадёт в точку (-1,0)». Казалось бы простая штука, но сам вид этой формулы ввергает некоторых математиков в благоговение (подробности можно в той же вики посмотреть).
0
BkmzSpb ,  

Для работы с комплексными числами есть прекрасная фунция arg(x, y) (см Вики), где x и y это вещественная и мнимая части z, соответственно. Функция эта многозначная, т.е. для любой пары (x, y) существует счетное количество значений (отличающихся, очевидно, на 2pi).
Для вычислений давно изобрели atan2(y, x), которая возвращает угол с учетом знаков x и y. Иногда она обозначается как Arg(z).


Без правильного учета этого свойства вы не получите правильных корней из единицы; вместо n корней будет только 1.