Занимательная математика. Самая экономичная система счисления

Все мы знаем из школьного курса что такое системы счисления(СС). Но не все задумываются о том, на сколько затратны СС. Т.е. какой набор цифр нам необходим для представления числа в данной СС. Когда у нас есть ограниченный набор уникальных элементов (разноцветные камушки разных размеров), с помощью которого мы можем представить число, какое максимальное число мы можем представить используя эти элементы? (все красные камушки — это ноль, зелёные — один, синие — два и т.д., маленькие — нулевой разряд, средние — первый, большие — второй и т.д.). Где та грань, при которой основание СС играет большую роль чем разрядность числа?

Возьмём для примера n — количество элементов, равным 60. Разбив элементы на 2 группы (двоичная система счисления) мы получим 30 разрядов. 30 единиц — самое больше 30-ти разрядное число с основанием 2. Если к нему прибавить 1, то получим единицу с 30 нулями, т.е. 2 в 30-ой, так как каждый ноль — это степень двойки, а разряды начинаются с 0, и не забудем вычесть единицу, которую прибавили.

Для других СС аналогично , где y — максимальное число, x — основание степени.

Точки построения:

.
.






График функции:



Из графика видно, что с увеличением основания СС, начиная с трёх, затратность её увеличивается и функция имеет верхний экстремум. Приведя её к общему виду можно получить , а максимум функции достигается при .



График функции

Т.е. самая экономичная СС — это система, максимально близкая к или 3.

P.S.: По мимо того СС с основанием 3 — нечётная, а значит не имеет проблемы округления (привести 0.5 к 0 или к 1), а если цифры записывать симметрично (-1,0,1 вместо 0,1,2) то появляется простота представления отрицательных чисел (10-1 это 8, -101 это -8, где минус — это не знак, а часть цифры, которую можно заменить на Z), но это уже совсем другая арифметика)))