18 января 2016 в 14:29 (МСК)

H Краткое объяснения математической значимости гипотезы Ходжа в черновиках Из песочницы

В данной статье приводится краткое авторское объяснение одной из самых значимых нерешенных проблем в алгебраической геометрии, в частности комплексной алгебраической геометрии, и алгебраической топологии, и по совместительству одной из задач тысячелетия, — гипотезе Ходжа.

Данная гипотеза утверждает, что каждый класс Ходжа регулярного проективного многообразия над $\mathbb{C}$ является рациональной линейной комбинацией классов когомологий алгебраических циклов.

Пусть $\mathbb{F}$ одно из следующих полей: поле комплексных чисел, конечное поле, числовое поле; два последних поля мы беспрепятственно можем объединить в более широкий класс, рассматривая конечно порожденное поле над своим простым подполем.
В каждом из случаев мы так или иначе рассматриваем категорию гладких проективных многообразий над $\mathbb{F}$ с соответствующими морфизмами, и также в каждом из случаем мы имеем естественную абелеву категорию (на самом деле, рассматриваются моноидальные категории, наделенные некоторой дополнительной структурой относительно $\mathbb{F}$ ): для комплексного случая — категория чистой структуры Ходжа, в остальных случаях — категории $\ell$ -адических представлений абсолютной группы Галуа $G_{\mathbb{F}}$ .

Рассматриваемая когомология дает нам функтор из категорий гладких проективных многообразий в последние вышеназванные категории. В комплексном случае это возможно ввиду теории Ходжа, в конечном и числовом случае — ввиду теории этальных когомологий (theory of etale cohomology). Гипотеза Ходжа (в комплексном случае) и гипотеза Тейта (в других случаях), дают нам полное право утверждать, что этот функтор является вполне унивалентным.
Вследствие верности данной гипотезы, мы можем строить соответствия между многообразиями, просто сделав необходимые расчеты в некоторых более линейных категориях.

Далее я хотел бы продемонстрировать непосредственное применение гипотезы Ходжа в разных областях математики. Например, в алгебраической теории чисел:

Пусть $p$ и $q$ — два простых числа. Пусть задан максимальный порядок $\mathcal O_\mathbb{H}$ в алгебре кватернионов $\mathbb{H}$ над $\mathbb{Q}$ , разветвленной в $p$ и $q$ и расщепленной всюду (в том числе и на бесконечности). Пусть также $\mathcal O^1_\mathbb{H}$ обозначает мультипликативную группу нормы одного элемента в $\mathbb{H}$ .

Ввиду того, что

$\mathbb{H} \otimes_{\mathbb Q} \mathbb R \cong M_2(\mathbb R),$

мы можем рассматривать $\mathcal O^1_\mathbb{H}$ как дискретную подгруппу $\mathtt{SL}_2(\mathbb R)$ и построить факторгруппу

$\mathcal{X} := \mathcal O_\mathbb{H}^1 \setminus S,$

где $S$ — верхняя полуплоскость.

Мы также можем рассмотреть обычную конгруэнтную подгруппу $\Gamma_0(pq)$ , состоящую из верхнетреугольных матриц $\mathtt{SL}_2(\mathbb Z)$ , и построить $\mathcal{X}_0(pq)$ — компактификацию $\Gamma_0(pq)\setminus S$ .

Теория модулярных и автоморфных форм и связанные с ними представления Галуа показывает, что $\mathcal{X}$ и $\mathcal{X}_0$ по своей природе являются кривыми над $\mathbb{Q}$ , и что имеется вложение представлений Галуа

$H^1(\mathcal{X}) \to H^1(\mathcal{X}_0(pq)).$

Таким образом, при верности гипотезы Тейта, справедливо было бы утверждать, что существует соответствие между $\mathcal{X}$ и $\mathcal{X}_0(pq)$ , включая соответствующие вложения. Переходя к структуре Ходжа, нам бы не составило труда выяснить, что 1-периодическая голоморфная форма на $\mathcal{X}$ должна быть также в числе 1-периодических голоморфных форм на $\mathcal{X}_0(pq)$ .

В свою очередь, теория $L$ -функций показывает, что 1-периодические голоморфные формы на $\mathcal{X}_0(pq)$ в некоторых случаях позволяют вычислить особые значения $L$ -функций, связанных с модулярными формами на $\Gamma_0(pq)$ . Теперь, учитывая все вместе (с гипотезой Тейта), мы могли бы вычислить особые значения $L$ -функций в некоторых модулярных формах, найдя периоды интегралов вдоль кривой $\mathcal{X}$ . В определенном отношении $\mathcal{X}$ ведет себя лучше, чем $\mathcal{X}_0(pq)$ , и потому это очень важный метод в исследовании арифметики $L$ -функций.

Теперь ясно видно, что в данном случае гипотеза Тейта на самом деле является теоремой Фалтинга, и пример выше является корректным и полным.
Однако существует бесконечно много других аналогичных ситуаций в теории многообразий Шимуры, где гипотеза Тейта еще неизвестна.

Можно привести еще один небольшой пример непосредственно из комплексной геометрии:

Пусть $\mathcal{X}$ является поверхностью типа $\mathtt{K}3$ . Тогда, исходя из структуры Ходжа в пространстве $H^2(\mathcal{X},\mathbb C)$ , можно построить абелево многообразие, связанное с $\mathcal{X}$ (многообразие Куга-Сатаке). Ясно, что конструкция выполнена в условиях структуры Ходжа. Можно сказать, пожалуй, что тут должна иметь место определенная связь, я бы даже сказал, соответствие, между поверхностью $\mathcal{X}$ и связанным с ней абелевым многообразием, однако едва ли об этом можно говорить в целом. Как раз верность гипотезы Ходжа и будет обосновывать существование предполагаемой связи в виде соответствия.

Как видно, это достаточно трудная для доказательства проблема, однако математики не дремлют: существует множество частных случаев с вышеразобранными линиями; даже позволю себе сказать большее: на данный момент есть приличное количество изобретательных методов, позволяющих обходить стороной, игнорировать гипотезы Ходжа и Тейта. Но тем не менее последние имеют твердую почву под ногами в качестве фундаментальных руководящих принципов, объясняющих нам, почему все именно так, и никак иначе.

Общий вывод: алгебраические циклы – это весьма широкие по применению и богатые по информации объекты, которые способны «оседлать» два мира сразу: мир периодов интегралов и мир представлений Галуа. Таким образом, если гипотезы Ходжа и Тейта верны, то мы можем не сомневаться, что существуют непосредственные и глубокие связи между этими двумя мирами: мы можем передать информацию от одного к другому посредством алгебраических циклов.

задача тысячелетия, гипотеза Ходжа, гипотеза Тейта

~1100

Wiechlinghamme

комментарии (3)

PavelSandovin , 18 января 2016 в 15:12 (МСК)

На мой взгляд, поскольку на Хабре много прикладников, а не математиков-теоретиков, было бы полезно хотя бы кратко объяснить что такое

— Класс Ходжа
— регулярное многообразие
— проективное многообразие
— когомология
— алгебраический цикл

–9

+1 –10

Wiechlinghamme , 18 января 2016 в 15:31 (МСК)

Приведенный тест предполагает, что специальный глоссарий уже освоен читателем. Разъяснять здесь столь обыденные для данных дисциплин термины просто-напросто нецелесообразно. К сожалению, на общий контингент присутствующих здесь лиц я обратил в последнюю очередь; признаю, ошибка за мной.

Arastas , 18 января 2016 в 16:35 (МСК)

Лично мне очень импонирует, как автор льстит читателям. Например,

ясно видно, что в данном случае гипотеза Тейта на самом деле является теоремой Фалтинга

или

нам бы не составило труда выяснить, что 1-периодическая голоморфная форма на \mathcal{X} должна быть также в числе 1-периодических голоморфных форм на \mathcal{X}_0(pq)